Das Smith-Diagramm sieht auf den ersten Blick aus wie ein Spinnennetz, an dem sich Elektrotechnik-Studenten die Zähne ausbeißen. In Wirklichkeit ist es eine Landkarte: Jeder Punkt darin ist eine Impedanz, und wo dieser Punkt liegt, verrät auf einen Blick, ob eine Antenne zu lang oder zu kurz ist, wie schlecht sie angepasst ist und in welche Richtung man korrigieren muss. Ein einzelner SWR-Wert kann das alles nicht - er ist nur eine Zahl.
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Was zeigt das Smith-Diagramm?
Kurz gesagt: Das Smith-Diagramm bildet alle passiven Impedanzen - also alle mit nichtnegativem Wirkanteil - auf einen Punkt innerhalb oder auf dem Einheitskreis ab. Die Lage des Punktes zeigt gleichzeitig den Wirkanteil, den Blindanteil, den Reflexionsfaktor und das Stehwellenverhältnis. Der Mittelpunkt entspricht der Systemimpedanz, üblicherweise 50 Ω.
Der Trick dahinter: Eine Impedanz hat zwei Zahlen - einen Wirkanteil R und einen Blindanteil X. Zwei Zahlen kann man als Punkt in einer Fläche darstellen. Statt eines unendlich großen Koordinatensystems - der Wirkanteil kann ja von null bis unendlich gehen - hat Phillip Smith die Fläche so verbogen, dass alles in einen handlichen Kreis passt. Unendlich weit draußen wird dabei zu einem einzelnen Punkt am rechten Rand.
"Passiv" ist dabei keine Spitzfindigkeit: Aktive Schaltungen mit negativem Wirkanteil - etwa Reflexionsverstärker - landen außerhalb des Einheitskreises. Das gewöhnliche Impedanz-Smith-Diagramm zeigt genau den passiven Innenbereich.
Die Landkarte: wo liegt was
| Ort im Diagramm | Impedanz | Bedeutung |
|---|---|---|
| Mittelpunkt | 50 Ω, kein Blindanteil | perfekt angepasst, keine Reflexion |
| rechter Rand | unendlich | Leerlauf |
| linker Rand | 0 Ω | Kurzschluss |
| obere Hälfte | positiver Blindanteil | induktiv |
| untere Hälfte | negativer Blindanteil | kapazitiv |
| waagerechte Achse | kein Blindanteil | resonant, aber nicht zwingend angepasst |
| äußerer Kreis | reiner Blindwiderstand | alles wird reflektiert, SWR unendlich |
Am schnellsten versteht man das, indem man den Punkt selbst bewegt. Schieb die Regler und beobachte, wohin der blaue Punkt wandert:
Hier steht normalerweise ein interaktives Smith-Diagramm mit Reglern für Wirk- und Blindanteil. Ohne JavaScript bleibt es aus - alle Werte stehen aber in den Tabellen dieses Artikels.
SWR-Kreise, Reflexionsfaktor und Rückflussdämpfung
Der Abstand eines Punktes vom Mittelpunkt ist der Betrag des Reflexionsfaktors. Weil das SWR nur von diesem Betrag abhängt und nicht von der Richtung, bilden alle Punkte mit demselben SWR einen Kreis um den Mittelpunkt. Genau deshalb heißen sie SWR-Kreise.
$\displaystyle SWR = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|} \qquad a_r = -20 \cdot \log_{10} |\Gamma|$
| SWR | Reflexionsfaktor | Rückflussdämpfung | reflektierte Leistung |
|---|---|---|---|
| 1 : 1 | 0 | unendlich | 0 % |
| 1,5 : 1 | 0,200 | 14,0 dB | 4,0 % |
| 2 : 1 | 0,333 | 9,5 dB | 11,1 % |
| 3 : 1 | 0,500 | 6,0 dB | 25,0 % |
| 5 : 1 | 0,667 | 3,5 dB | 44,4 % |
| unendlich | 1,000 | 0 dB | 100 % |
Fünf Fragen zur VNA-Messung
Zum Smith-Diagramm selbst gibt es keine Katalogfragen, wohl aber zum vektoriellen Netzwerkanalysator - und der zeigt genau das, was oben in der Landkarte steht. Vier Fragen aus Klasse A, eine aus Klasse E, wörtlich aus dem offiziellen Fragenkatalog der Bundesnetzagentur. Die Reihenfolge der Antworten wird bei jedem Aufruf neu gemischt und weicht deshalb vom Katalog ab.
AI205 Sie haben einen vektoriellen Netzwerkanalysator (VNA), der auf den VHF-Bereich eingestellt ist, an den Speisepunkt ihrer VHF-Antenne angeschlossen. Das Gerät zeigt R = 50 Ohm und jX = 0 Ohm an. Was erkennen Sie aus diesen Werten?
- Die Antenne ist für den Betrieb an einen VHF-Sender mit 50 Ohm Ausgangsimpedanz gut angepasst.
- Der fehlende Blindanteil (jX) deutet darauf hin, dass die Antenne defekt ist.
- Die Antenne ist für den Betrieb an einem Sender mit 50 Ohm Ausgangsimpedanz schlecht angepasst, da der erforderliche Blindanteil (jX) von 50 Ohm fehlt.
- Die Antenne ist wegen des fehlenden Blindwiderstandanteils nur zum Empfang, nicht jedoch zum Senden geeignet.
AI206 Sie haben einen vektoriellen Netzwerkanalysator (VNA) an den Speisepunkt Ihrer Kurzwellenantenne angeschlossen. Das Gerät zeigt R = 54 Ohm und jX = +12 Ohm an. Was bedeutet das Messergebnis?
- Der ohmsche Anteil der Antennenimpedanz beträgt 54 Ohm, der Blindanteil beträgt 12 Ohm und ist induktiv.
- Die Impedanz der Antenne beträgt 66 Ohm. Es entsteht eine große induktive Fehlanpassung.
- Der ohmsche Widerstand der Antennenimpedanz beträgt 54 Ohm, der Blindanteil beträgt 12 Ohm und ist kapazitiv.
- Die Antenne ist wegen ihres großen Blindwiderstandes nur zum Empfang, nicht jedoch zum Senden geeignet.
AI204 Sie haben einen vektoriellen Netzwerkanalysator (VNA) an den Speisepunkt ihrer Kurzwellenantenne angeschlossen. Das Gerät zeigt R = 54 Ohm und jX = -12 Ohm an. Was bedeutet das Messergebnis?
- Der ohmsche Widerstand der Antennenimpedanz beträgt 54 Ohm, der Blindanteil beträgt 12 Ohm und ist kapazitiv.
- Die Impedanz der Antenne beträgt 66 Ohm. Es entsteht eine große induktive Fehlanpassung.
- Der ohmsche Anteil der Antennenimpedanz beträgt 54 Ohm, der Blindanteil beträgt 12 Ohm und ist induktiv.
- Die Antenne ist wegen ihres großen Blindwiderstandes nur zum Empfang, nicht jedoch zum Senden geeignet.
EI206 Sie ermitteln die Resonanzfrequenz und die Impedanz ihrer selbstgebauten Antennen mit Hilfe eines vektoriellen Netzwerkanalysators (VNA). Wie könnten Sie die Funktion des Gerätes vorher prüfen?
- Durch Prüfen der Anzeigewerte in den Betriebszuständen Kurzschluss, Leerlauf und Anpassung. Das SWR sollte bei Anpassung nahe bei 1, bei Kurzschluss und Leerlauf unendlich sein.
- Durch Prüfen der Anzeigewerte in den Betriebszuständen Leerlauf und Anpassung. Der Messanschluss des Gerätes darf keinesfalls kurzgeschlossen werden.
- Durch Beschalten des Messeingangs am VNA mit einem Abschlusswiderstand. Das angezeigte SWR sollte im gesamten Frequenzbereich größer als 2 sein.
- Durch Beschalten des Messeingangs am VNA mit einem Blindwiderstand. Der Anzeigewert des SWR muss bei allen Frequenzen nahe bei 1 sein.
AI208 Sie haben einen vektoriellen Netzwerkanalysator (VNA) an einen selbstgebauten Halbwellendipol angeschlossen und messen den dargestellten Resonanzverlauf. Was müssen Sie tun, um diese Antenne auf das 80 m-Band abzustimmen?
- Sie verlängern beide Drahtenden gleichmäßig.
- Sie verkürzen beide Drahtenden gleichmäßig.
- Sie fügen in beide Strahlerhälften jeweils eine Kapazität ein.
- Sie fügen eine Mantelwellensperre ein.
Diese Fragen stammen aus dem offiziellen Fragenkatalog der Bundesnetzagentur (Klassen A und E). Im Lernbereich übst du sie mit Fortschrittsspeicherung und persönlicher Auswertung.
Eine Antenne im Diagramm
Misst man eine Antenne über einen Frequenzbereich, zeichnet der Analysator keine einzelne Marke, sondern eine Kurve. Bei einem einfachen Strahler rund um seine Resonanz läuft sie mit steigender Frequenz typischerweise im Uhrzeigersinn. Verlässlich ist das nicht: Anpassnetzwerke, Speiseleitung, weitere Resonanzen und die gewählte Referenzebene können Schleifen, Richtungswechsel und Überschneidungen erzeugen.
Der wichtigste Punkt darauf ist der Schnittpunkt mit der waagerechten Achse: Dort ist der Blindanteil null, dort ist die Antenne resonant. Wie breitbandig sie ist, liest man nicht an der Größe der Schleife ab, sondern daran, über welchen Frequenzbereich die Kurve innerhalb des gewünschten SWR-Kreises bleibt.
Nein. Resonanz ist nur die Bedingung, dass der Blindanteil verschwindet - das gilt auf der gesamten waagerechten Achse. Anpassung ist dagegen ein einziger Punkt, nämlich die Mitte. Ein Halbwellendipol ist mit rund 73 Ω resonant und trotzdem an 50 Ω mit einem SWR um 1,5 fehlangepasst. Er liegt exakt auf der Achse, aber ein Stück rechts vom Zentrum.
Zu kurz oder zu lang?
Bei einem einfachen Dipol oder Vertikalstrahler nahe seiner Grundresonanz gilt: Unterhalb der Resonanzfrequenz wirkt er kapazitiv, oberhalb induktiv. Daraus folgt die praktische Regel:
| Befund im Diagramm | heißt | Abhilfe |
|---|---|---|
| Punkt in der unteren Hälfte (kapazitiv) | Strahler ist elektrisch zu kurz, Resonanz liegt höher | Draht verlängern |
| Punkt in der oberen Hälfte (induktiv) | Strahler ist elektrisch zu lang, Resonanz liegt tiefer | Draht kürzen |
Diese Richtung verwechselt fast jeder einmal. Merkhilfe: Der Draht ist zu kurz, also fehlt ihm Länge - und Länge wirkt induktiv. Was fehlt, sieht man als das Gegenteil: kapazitiv.
Was die Speiseleitung anrichtet
Hier wird es interessant, und hier scheitern viele Messungen. Ein Stück Koaxkabel zwischen Messgerät und Antenne ändert den angezeigten Wert, ohne dass sich an der Antenne irgendetwas geändert hätte.
Auf einer verlustfreien Leitung bleibt der Betrag des Reflexionsfaktors gleich, nur seine Phase dreht sich. Im Diagramm heißt das: Der Punkt wandert auf dem SWR-Kreis, im Uhrzeigersinn, wenn man von der Antenne Richtung Sender geht. Eine volle Umdrehung entspricht einer elektrischen halben Wellenlänge Kabel - danach wiederholt sich alles. Bei einer fehlangepassten Last reicht deshalb nur ein Kabel von einem ganzzahligen Vielfachen der elektrischen λ/2 die Impedanz unverändert durch. "Elektrisch" ist wörtlich zu nehmen: Der Verkürzungsfaktor des Kabels gehört in die Rechnung.
Ist die Last dagegen bereits an den Wellenwiderstand angepasst, liegt der Punkt im Mittelpunkt - und der dreht sich nicht. Dann ist die Eingangsimpedanz bei jeder Leitungslänge dieselbe. Das ist genau der Grund, warum sich bei einer sauber angepassten Antenne niemand um die Kabellänge kümmern muss.
Anpassen mit Spule und Kondensator
Jetzt zahlt sich die Landkarte aus. Jedes Bauteil, das man hinzufügt, bewegt den Punkt auf einer bestimmten Bahn - und wer die Bahnen kennt, sieht sofort, welches Bauteil in welcher Größe fehlt.
| Bauteil | bewegt den Punkt auf | Richtung |
|---|---|---|
| Spule in Serie | Kreis konstanten Wirkwiderstands | nach oben, ins Induktive |
| Kondensator in Serie | Kreis konstanten Wirkwiderstands | nach unten, ins Kapazitive |
| Spule parallel | Kreis konstanten Wirkleitwerts | ins Induktive |
| Kondensator parallel | Kreis konstanten Wirkleitwerts | ins Kapazitive |
Die zwei Kreisscharen sind der Grund, warum es zwei Sorten von Bahnen gibt: Serienelemente addieren sich zur Impedanz, Parallelelemente zum Leitwert. Für Parallelschaltungen benutzt man deshalb das gespiegelte Leitwertdiagramm - man erhält es, indem man jeden Punkt am Mittelpunkt spiegelt.
Das L-Netzwerk und seine zwei Lösungen
Ein Antennentuner aus einer Spule und einem Kondensator ist im Diagramm ein Zwei-Schritt-Weg: Das erste Bauteil bringt den Punkt auf einen der beiden Kreise, die durch den Mittelpunkt laufen, das zweite schiebt ihn von dort ins Zentrum.
Häufig schneidet der SWR-Kreis diese Kreise an zwei Stellen, und dann gibt es auch zwei Bauteilkombinationen, die beide funktionieren. Zwingend ist das nicht: Wie viele Lösungen es gibt, hängt von der Last, der Transformationsrichtung, der zugelassenen Topologie und den verfügbaren Bauteilarten ab - manchmal ist es nur eine, manchmal mit einem L-Netzwerk gar keine.
Wo es zwei gibt, unterscheiden sie sich in den Bauteilwerten und in der Bandbreite. Je größer das Transformationsverhältnis, desto höher die Güte des Netzwerks und desto schmalbandiger die Anpassung. Wer eine sehr kurze Antenne auf 50 Ω zwingt, bekommt sie fast immer nur für einen engen Frequenzbereich sauber hin.
Die Mathematik dahinter
Wer wissen will, warum das Diagramm aus lauter Kreisen besteht, findet die Antwort in einer einzigen Gleichung. Zuerst wird die Impedanz auf die Systemimpedanz normiert, also durch sie geteilt:
$\displaystyle z = \frac{Z}{Z_0} = r + jx$
Dadurch ist dasselbe Diagrammblatt für 50-Ω- und 75-Ω-Systeme brauchbar. Aus der normierten Impedanz folgt der Reflexionsfaktor:
$\displaystyle \Gamma = \frac{z - 1}{z + 1}$
Das ist eine Möbius-Transformation, und die hat eine bemerkenswerte Eigenschaft: Sie bildet Kreise und Geraden stets wieder auf Kreise oder Geraden ab. Die Linien konstanten Wirkanteils und konstanten Blindanteils sind in der Impedanzebene gerade - in der Reflexionsebene werden daraus zwangsläufig Kreise:
| Linienschar | Mittelpunkt | Radius |
|---|---|---|
| konstanter Wirkanteil r | $\left(\frac{r}{1+r},\ 0\right)$ | $\frac{1}{1+r}$ |
| konstanter Blindanteil x | $\left(1,\ \frac{1}{x}\right)$ | $\left|\frac{1}{x}\right|$ |
Weil für jede passive Last der Wirkanteil größer oder gleich null ist, kann der Reflexionsfaktor betragsmäßig nie über eins gehen. Das gesamte passive Impedanzgebiet passt deshalb in den Einheitskreis - und genau das ist der Rand des Diagramms.
Woher es kommt
Entwickelt hat es Phillip H. Smith in den Bell Telephone Laboratories. Die heutige Kreisform stand 1937, veröffentlicht wurde sie im Januar 1939 in der Zeitschrift Electronics unter dem nüchternen Titel "Transmission Line Calculator". Bemerkenswert: Etwa zeitgleich und unabhängig davon entwickelten Tōsaku Mizuhashi in Japan und Amiel Volpert in der Sowjetunion praktisch dasselbe Werkzeug - im russischsprachigen Raum heißt es bis heute Volpert-Smith-Diagramm.
Mit dem NanoVNA in der Praxis
Ein vektorieller Netzwerkanalysator misst nicht nur den Betrag der Reflexion, sondern auch deren Phase - und kann deshalb überhaupt erst ein Smith-Diagramm zeichnen. Vier Dinge entscheiden darüber, ob die Messung etwas taugt:
- Kalibrieren, immer. Ohne Kalibrierung mit Kurzschluss, Leerlauf und Abschlusswiderstand lässt sich zwar qualitativ noch etwas erkennen - etwa wo ungefähr eine Resonanz liegt -, quantitativ ist die Anzeige aber nicht verlässlich.
- Die Kalibrierung selbst prüfen. Danach muss der Leerlauf ganz rechts liegen, der Kurzschluss ganz links und der 50-Ω-Abschluss genau in der Mitte. Sitzt einer davon woanders, stimmt etwas nicht.
- An der richtigen Ebene kalibrieren. Die Messung gilt ab dem Punkt, an dem die Kalibriernormale steckten. Wer am Gerät kalibriert und dann über zwei Meter Kabel misst, misst Antenne plus Kabel. Auch jeder Adapter gehört mit kalibriert.
- Genug Messpunkte. Über einen großen Frequenzbereich mit wenigen Stützstellen wird aus der Ortskurve ein Vieleck, und Details verschwinden zwischen den Punkten.
Häufige Missverständnisse
- Der Mittelpunkt ist die Anpassung, die waagerechte Achse nur die Resonanz
- Beim einfachen Dipol heißt kapazitiv: der Draht ist elektrisch zu kurz
- Die Speiseleitung dreht den Punkt, ohne die Antenne zu ändern
- Ein SWR-Wert ist mehrdeutig, ein Punkt im Diagramm nicht
- Serienelemente laufen auf Widerstands-, Parallelelemente auf Leitwertkreisen
- Resonanz mit Anpassung gleichsetzen
- Ein am Sender gemessenes gutes SWR für die Antennenimpedanz halten
- Am Gerät kalibrieren und über ein langes Kabel messen
- Die Faustregel kapazitiv gleich zu kurz auf verkürzte oder mehrbandige Antennen übertragen
- Erwarten, dass eine extreme Transformation breitbandig bleibt
Messen, verstehen, bestehen
Impedanz, Reflexionsfaktor, Resonanz und Anpassung sind Prüfungsstoff - und gleichzeitig genau das Wissen, mit dem eine selbstgebaute Antenne am Ende funktioniert. Üben mit dem offiziellen Fragenkatalog der Bundesnetzagentur, mit Fortschrittsanzeige und Auswertung.
Prüfungsvorbereitung startenHäufige Fragen zum Smith-Diagramm
Was zeigt das Smith-Diagramm?
Es bildet alle passiven Impedanzen, also alle mit nichtnegativem Wirkanteil, auf einen Punkt innerhalb oder auf dem Einheitskreis ab. Die Lage des Punktes zeigt gleichzeitig Wirkanteil, Blindanteil, Reflexionsfaktor und Stehwellenverhältnis. Der Mittelpunkt entspricht der Systemimpedanz, also meist 50 Ohm ohne Blindanteil. Aktive Schaltungen mit negativem Wirkanteil liegen außerhalb des Kreises.
Wo liegen 50 Ohm im Smith-Diagramm?
Genau im Mittelpunkt, sofern das Diagramm auf 50 Ohm normiert ist. Dort ist der Reflexionsfaktor null und das Stehwellenverhältnis 1 zu 1. Je weiter ein Punkt vom Mittelpunkt entfernt liegt, desto schlechter ist die Anpassung.
Wie erkenne ich induktive und kapazitive Lasten?
An der oberen und unteren Hälfte. Punkte oberhalb der waagerechten Achse haben einen positiven Blindanteil und sind induktiv, Punkte unterhalb einen negativen und sind kapazitiv. Auf der Achse selbst ist der Blindanteil null.
Wo erkennt man die Resonanz einer Antenne?
Am Schnittpunkt der Messkurve mit der waagerechten Achse. Dort verschwindet der Blindanteil. Resonanz bedeutet aber nicht automatisch gute Anpassung: Ein Halbwellendipol ist mit rund 73 Ohm resonant und hat an 50 Ohm trotzdem ein Stehwellenverhältnis um 1,5.
Was bedeutet ein Punkt in der unteren Hälfte?
Die Last ist kapazitiv. Bei einem einfachen Dipol oder Vertikalstrahler nahe seiner Grundresonanz heißt das, dass er elektrisch zu kurz ist und seine Resonanz oberhalb der Messfrequenz liegt. Abhilfe ist ein längerer Draht. Liegt der Punkt in der oberen Hälfte, ist der Strahler zu lang. Bei verkürzten oder mehrbandigen Antennen, vorgeschalteten Anpassnetzwerken oder einer Messung über eine längere Speiseleitung gilt diese Faustregel nicht.
Warum wandert der Messpunkt, wenn ich das Kabel verlängere?
Eine verlustfreie Leitung ändert nur die Phase des Reflexionsfaktors, nicht dessen Betrag. Der Punkt dreht sich deshalb auf dem Kreis konstanten Stehwellenverhältnisses um den Mittelpunkt. Eine volle Umdrehung entspricht einer elektrischen halben Wellenlänge Kabel, danach wiederholt sich alles. Ist die Last dagegen an den Wellenwiderstand angepasst, liegt der Punkt im Mittelpunkt und bleibt bei jeder Leitungslänge dort.
Warum wird aus dem Kreis eine Spirale?
Weil ein reales Kabel dämpft. Hin- und rücklaufende Welle werden entlang der Leitung geschwächt, der zum Messgerät hin gemessene Reflexionsfaktor fällt deshalb kleiner aus, und die Kurve läuft nach innen. Ein langes, verlustreiches Kabel täuscht damit ein besseres Stehwellenverhältnis vor, als an der Antenne tatsächlich herrscht.
Wie bewegen Spule und Kondensator den Punkt?
Serienelemente verschieben ihn auf Kreisen konstanten Wirkwiderstands, Parallelelemente auf Kreisen konstanten Wirkleitwerts. Eine Spule schiebt ins Induktive, ein Kondensator ins Kapazitive. Aus diesen vier Bewegungen setzt sich jede Anpassschaltung zusammen.
Warum ist ein Punkt aussagekräftiger als ein SWR-Wert?
Weil derselbe SWR-Wert zu unendlich vielen Impedanzen gehört. Ein reeller Widerstand von 100 Ohm ergibt ebenso ein Stehwellenverhältnis von 2 wie eine Impedanz von 40 plus 30 Ohm Blindanteil. Der Messer zeigt dieselbe Zahl, das Diagramm zeigt zwei verschiedene Punkte und damit zwei verschiedene Anpassmaßnahmen.
Wer hat das Smith-Diagramm erfunden?
Phillip H. Smith in den Bell Telephone Laboratories. Die heutige Kreisform entstand 1937, veröffentlicht wurde sie im Januar 1939 in der Zeitschrift Electronics. Etwa zeitgleich und unabhängig davon entwickelten Tōsaku Mizuhashi in Japan und Amiel Volpert in der Sowjetunion vergleichbare Diagramme.
Quellen:DD0CN: Das Smith-Diagramm und seine Anwendung bei der Anpassung von Impedanzen (DARC) · DK2TX: Das Smith-Diagramm (DARC) · DK2FQ: Smith-Diagramm, Manuskript mit Antennenbeispielen · ARRL Antenna Book: Smith Chart Supplement · DC4KU: Messungen mit dem NanoVNA · Rohde & Schwarz: Understanding the Smith Chart · Wikipedia: Smith chart. Das interaktive Diagramm rechnet mit den oben genannten Formeln und einer Bezugsimpedanz von 50 Ω. Angaben zu Bauteilwerten und Bandbreiten sind aufbauabhängige Größenordnungen.