Abstimmung und Bandbreite der Magnetic Loop

Ein Schwingkreis mit sehr hoher Güte

Lektion 1 hat die Beispiel-Loop eingeführt: Kupferrohr, 0,97 m im Quadrat, auf 14,2 MHz $X_L = 291\ \Omega$, $R_S = 0{,}137\ \Omega$ und $R_V = 0{,}064\ \Omega$, Verluste im Kondensator nicht eingeschlossen^[1]. Wie scharf ihre Resonanz ist, sagt die Güte, in Modul 2, Lektion 1 eingeführt als Verhältnis der pendelnden zur abgegebenen Energie. Bei der Loop folgt sie aus dem Blindwiderstand des Rings und dem Wirkanteil des Kreises:

$$Q = \frac{X_L}{R_S + R_V}$$

Für die Beispiel-Loop sind das rund 1450.

Warum wenige kHz reichen

In Resonanz heben sich die Blindwiderstände von Ring und Kondensator auf. Neben der Resonanz bleibt ein Rest, für kleine Abweichungen ungefähr $X \approx 2 X_L \cdot \Delta f / f$, mit dem Blindwiderstand $X_L$ des Rings und dem Abstand $\Delta f$ von der Resonanzfrequenz $f$. Er wächst mit dem großen $X_L$, gemessen wird er aber am winzigen Wirkanteil. Bei der Beispiel-Loop sind es 3,5 kHz neben 14,2 MHz rund 0,14 Ω, 10 kHz daneben rund 0,41 Ω, das Doppelte des Wirkanteils (12db-Rechnung). Schon wenige Hundertstel Prozent Verstimmung lassen einen Blindanteil in der Größe des Wirkanteils stehen, und das SWR steigt steil an.

Der Blindanteil zählt so stark, weil er von null aus wächst. Was in Resonanz schon einen festen Wert hat, ändert sich über so kleine Schritte um die relative Frequenzänderung oder ein kleines Vielfaches davon:

• Der Strahlungswiderstand wächst mit der vierten Potenz der Frequenz, über 10 kHz also um das Vierfache von 0,07 %, rund 0,3 %.
• Die Koppelschleife übersetzt mit festem Verhältnis. Empfohlen wird, sie einmal nahe der Mitte des Abstimmbereichs auf das beste SWR einzustellen^[2]. Erst über einen weiten Frequenzbereich ändern sich der Wirkanteil der Loop und mit ihm bei fester Koppelschleife die Anpassung^[4].
• Das Koax formt die Impedanz je nach elektrischer Länge um, die sich ebenfalls um Hundertstel Prozent ändert. Ohne Strom auf dem Kabelmantel verändert es das SWR auf der Leitung ohnehin nur über seine Dämpfung (Modul 1, Lektion 5).

Wie breit der Bereich ist

Für den Strom im Ring liegen Ring, Kondensator und Wirkwiderstand hintereinander in einem geschlossenen Kreis, einem Reihenschwingkreis. Nahe der Resonanz lässt er sich mit festem Wirkanteil rechnen, so arbeiten auch Rechner, die aus gemessenen SWR-Verläufen die Güte bestimmen^[3]. Ist die Loop in Resonanz an 50 Ω angepasst, bleibt das SWR über rund $f/(\sqrt{2}\,Q)$ unter 2 (12db-Rechnung), bei der Beispiel-Loop über rund 7 kHz.

Ein Halbwellendipol aus 2 mm Draht bleibt auf 20 m im freien Raum an 50 Ω über rund 700 kHz unter SWR 2 (Modul 2, Lektion 1), rund hundertmal so breit.

Loop-Rechner nach den Formeln von Hart geben die Güte oft als $X_L/(2(R_S + R_V))$ und die Bandbreite als $f/Q$ an^[2], für die Beispiel-Loop rund 720 und 19,6 kHz^[1]. An den Rändern dieses Bereichs wird im Modell die Hälfte der Leistung reflektiert, das SWR liegt dort bei rund 5,8 (12db-Rechnung). Unter SWR 2 bleibt rund ein Drittel davon.

Auf tieferen Bändern wird derselbe Ring schmalbandiger, weil sein Strahlungswiderstand zu tiefen Frequenzen steil fällt. Mit den Werten für 7 MHz^[1] ergibt dieselbe Rechnung rund 1,8 kHz bis SWR 2, mit denen für 21 MHz rund 25 kHz.

Gebaute Loops sind oft breiter als die Rechnung, denn Kondensator, Kontakte und Umgebung bringen weitere Verluste. Bei gleicher Frequenz und gleicher Loop wächst die Güte mit dem Wirkungsgrad^[4]. Wird dieselbe Loop auf derselben Frequenz mit neu angepasster Koppelschleife breiter, zeigt das zusätzliche Verluste, mehr dazu in Lektion 3. Zwischen Bändern oder verschiedenen Loops taugt die Breite nicht als Maß: Die Beispiel-Loop ist auf 21 MHz breiter als auf 14,2 MHz (12db-Rechnung) und hat dort den höheren Wirkungsgrad^[1].

Abstimmen mit dem Drehkondensator

Die Resonanzfrequenz eines Schwingkreises ist

$$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

Mit $L$ in Henry und $C$ in Farad ergibt sich $f$ in Hertz. Die Induktivität $L$ legt der Ring fest. $C$ ist die gesamte Kapazität: die des Drehkondensators und die Eigenkapazität des Rings, die parallel dazu liegt, bei der Beispiel-Loop 10,4 pF^[1]. Für eine tiefere Frequenz braucht die Loop mehr Kapazität, und zwar mit dem Quadrat des Frequenzverhältnisses:

$$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{f_1}{f_2}\right)^2$$

Auf 14,2 MHz braucht die Beispiel-Loop 28 pF am Kondensator, mit der Eigenkapazität zusammen 38 pF, auf 7 MHz 148 pF, zusammen 158 pF^[1]. Die halbe Frequenz braucht also rund die vierfache Kapazität. Für 14 MHz stehen die Platten ihres Kondensators weit ineinander, für 21 MHz weit heraus^[1].

Daraus folgt auch der Abstimmbereich, denn die Frequenz ändert sich nur mit der Wurzel des Kapazitätsverhältnisses. Eine handelsübliche Loop mit einem Ring aus Koaxkabel von 0,74 m Durchmesser hat einen Kondensator von etwa 5 bis 182,5 pF und deckt damit gemessen 7,5 bis 31,3 MHz ab^[4]. Der Kondensator ändert seine Kapazität um rund das 36-Fache. Ohne weitere Kapazitäten ergäbe das das Sechsfache der Frequenz, die Wurzel aus 36, gemessen ist es nur gut das Vierfache. Zur kleinsten wie zur größten Einstellung kommen die Eigenkapazität des Rings und die Kapazität der Verdrahtung hinzu, deshalb ist das Verhältnis der gesamten Kapazität kleiner als das des Kondensators.

Die Eigenkapazität begrenzt auch die höchste Frequenz: Mit ihr allein wäre die Beispiel-Loop bei rund 27 MHz resonant (12db-Rechnung), auf 28 MHz lässt sie sich deshalb nicht abstimmen^[1].

Fein einstellen

Der Bereich bis SWR 2 umfasst bei der Beispiel-Loop rund 0,05 % der Frequenz. Weil die Kapazität umgekehrt mit dem Quadrat der Frequenz geht, ändert sie sich prozentual doppelt so stark, um rund 0,1 %, bei 38 pF knapp 0,04 pF (12db-Rechnung). Ein Bereich von wenigen kHz entspricht hier einem Bruchteil eines Pikofarads. Empfohlen wird deshalb für jeden Abstimmkondensator eine Untersetzung^[2]. Ein Motor mit Untersetzung erlaubt das Abstimmen aus der Ferne^[1].

Auch deine Hand verstimmt die Loop, denn sie reagiert empfindlich auf Leiter in ihrer Nähe, den menschlichen Körper eingeschlossen^[1].