Verluste und Wirkungsgrad der Magnetic Loop

Wohin die Leistung in der Loop geht

Eine kleine Loop hat einen winzigen Strahlungswiderstand. Schon Verluste von einigen zehn Milliohm fallen deshalb ins Gewicht, und die Frage ist, wo sie entstehen und wie du sie klein hältst. Beispiel ist eine Loop mit 1 m Durchmesser auf 14,2 MHz.

Über die Koppelschleife kommt die Leistung in den Ring. Dort fließt der Strom durch mehrere Wirkwiderstände in Reihe, und jeder nimmt seinen Teil der Leistung auf^[1]:

• der Strahlungswiderstand $R_S$, sein Anteil wird abgestrahlt,
• der Verlustwiderstand des Rings selbst, um den es in dieser Lektion vor allem geht,
• die Verluste im Drehkondensator,
• die Übergangswiderstände an Verbindungen und Kontakten (Lektion 5),
• die Verluste in der Umgebung: Wände, Boden und Metall in der Nähe nehmen über das Nahfeld Leistung auf.

Der Strahlungswirkungsgrad ist wie bei jeder Antenne der Anteil von $R_S$ an der Summe aller Wirkwiderstände (Modul 1, Lektion 4).

Neu ist die Größenordnung. Eine Loop mit 1 m Durchmesser hat auf 14,2 MHz in der 12db-Rechnung rund 0,1 Ω Strahlungswiderstand. Die 0,8 Ω Drahtverlust, die der Halbwellendipol aus Modul 1, Lektion 4 neben seinen rund 67 Ω kaum merkt, ließen ihr rund 11 % Wirkungsgrad. In der Loop entscheiden schon Bruchteile eines Ohms über den Wirkungsgrad.

Der Leiter: Leiterumfang statt Querschnitt

Bei Hochfrequenz fließt der Strom in einer dünnen Schicht an der Oberfläche des Leiters, das ist der Skineffekt (Modul 5, Lektion 1). In Kupfer ist die Skintiefe bei 1 MHz rund 0,065 mm^[4], und sie nimmt mit der Wurzel der Frequenz ab^[5]. Auf 14,2 MHz sind es $0{,}065\ \text{mm}/\sqrt{14{,}2} \approx 0{,}017$ mm.

Der Strom nutzt also einen schmalen Streifen rund um den Leiter. Wie breit dieser Streifen ist, bestimmt der Leiterdurchmesser $d$, wie lang er ist, die Länge $l$ des Rings. Für eine runde Loop aus Kupfer wächst der Verlustwiderstand deshalb wie^[2]

$$R_V \sim \sqrt{f} \cdot \frac{l}{d}$$

Bei Hochfrequenz zählt der Leiterumfang, nicht der Querschnitt. Ein doppelt so dicker Leiter halbiert den Verlustwiderstand.

Das Innere eines Rohrs trägt kaum Strom, ein Rohr ist deshalb so gut wie ein Vollstab gleichen Durchmessers, solange seine Wand viele Skintiefen dick ist. Eine Wand von 0,6 mm, wie bei einer Loop aus 100-mm-Kupferrohr^[1], ist auf 14 MHz schon über 30 Skintiefen dick.

Der Gleichstromwiderstand führt dabei in die Irre. Ein Ring aus 2 mm dickem Kupferdraht mit 1 m Durchmesser hat bei Gleichstrom rund 0,017 Ω, scheinbar wenig neben 0,1 Ω Strahlungswiderstand. Auf 14,2 MHz sind es in der 12db-Rechnung rund 0,49 Ω, das 28-Fache. Erwärmung erklärt einen solchen Unterschied nicht: Kupfer wird je Kelvin um rund 0,4 % hochohmiger^[6], 50 K wärmer heißt rund 20 % mehr Widerstand.

Auch abstrahlen kann ein dickes Rohr nicht besser als ein dünner Draht. Im Modell der kleinen Loop hängt $R_S$ von der Fläche des Rings und der Wellenlänge ab, nicht von der Dicke des Leiters (Formel unten). Dass die größere Induktivität eines dünnen Drahts den Strom in Resonanz nicht begrenzt, zeigt Lektion 1.

Mit 2 mm Draht bleiben der Loop aus der Grafik rund 16 %, mit 22-mm-Rohr rund 68 %. Für die quadratische Beispiel-Loop aus Lektion 1 kommt die Rechnung ihres Erbauers ebenfalls auf rund 68 %^[3].

Drahtringe, wie sie für Empfangsloops üblich sind, haben Verlustwiderstände in der Größenordnung von Ohm, Sende-Loops baut man deshalb aus dickem Kupferrohr^[3].

Der Durchmesser: vierte Potenz gegen linear

Den Strahlungswiderstand einer kleinen, einwindigen Loop mit der Fläche $A$ beschreibt die Formel^[1]

$$R_S \approx 31\,171\ \Omega \cdot \left(\frac{A}{\lambda^2}\right)^2$$

Die Fläche wächst mit dem Quadrat des Durchmessers, $R_S$ bei gleicher Frequenz mit dem Quadrat der Fläche, also mit der vierten Potenz des Durchmessers. Der Verlustwiderstand wächst bei gleichem Leiter mit der Länge des Rings, also im gleichen Verhältnis wie der Durchmesser. Ein 1,5-facher Durchmesser bringt $1{,}5^4 \approx 5$-mal so viel Strahlungswiderstand und 1,5-mal so viel Verlust.

Solange der Verlust deutlich überwiegt, wächst der Wirkungsgrad ungefähr mit der dritten Potenz des Durchmessers, denn dann ist er fast $R_S/R_V$. Kommt $R_S$ in die Nähe des Verlusts, zählt er im Nenner mit, und der Anstieg flacht ab. Ist $R_S$ größer als der Verlust, nähert sich der Wirkungsgrad 100 %.

Es zählt die Größe im Verhältnis zur Wellenlänge. Auf der halben Frequenz hat dieselbe Loop ein Sechzehntel des Strahlungswiderstands, der Verlust dagegen sinkt mit der Wurzel der Frequenz. Die Beispiel-Loop aus Lektion 1 kommt deshalb auf 7 MHz noch auf 15 %^[3].

Über rund einem Zehntel der Wellenlänge Umfang fällt die Formel etwas zu klein aus (Lektion 1), die Beispiele dieser Lektion reichen bis knapp unter eine Viertelwellenlänge. Die genauere Formel nach King^[1] ergibt für sie bis zu rund 3 % mehr Strahlungswiderstand (12db-Rechnung).

Was die Rechnung nicht enthält

Echte Loops liegen in der Regel unter den gerechneten Wirkungsgraden, denn drei Posten fehlen in der Rechnung:

• Der Drehkondensator hat eigene Verluste. Auch die Rechnung zur Beispiel-Loop aus Lektion 1 enthält sie nicht^[3].
• Jede Verbindung im Ring bringt einen Übergangswiderstand dazu, wie viel das kostet, zeigt Lektion 5.
• Die Umgebung nimmt Leistung auf. Eine Loop aus 100-mm-Kupferrohr hatte auf 20 m im Freien einen gemessenen Verlustwiderstand von höchstens 0,024 Ω (Rohr und Kondensator), im Zimmer 0,757 Ω^[1]. Für den Betrieb im Zimmer erwartet ihr Erbauer von einem größeren Ring kaum mehr Abstrahlung, weil die Verluste in Wänden und Decke ungefähr im gleichen Maß steigen wie der Strahlungswiderstand^[1].

An einer käuflichen Loop aus Koaxkabel mit 36 Zoll Durchmesser ergab die Messung einen Wirkungsgrad, wie ihn die Rechnung für einen Leiter mit 10 % der Leitfähigkeit von Kupfer liefert, auf 14 MHz etwas mehr als eine S-Stufe unter einer verlustfreien Loop^[7].

Mit weniger Verlust steigt die Güte $Q = X_L/(R_S + R_V)$ aus Lektion 2, und die Bandbreite wird schmaler. Bei sonst gleichem Aufbau ist eine Loop aus dünnem Leiter breitbandiger, weil sie mehr Leistung in Wärme umsetzt.