Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen und Kondensatoren
Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen und Kondensatoren
Dieses Kapitel behandelt die wichtigsten Schaltungsarten: Wie verhalten sich Reihenschaltungen und Parallelschaltungen von Widerständen und Kondensatoren?
Teil 1: Widerstände
Reihenschaltung von Widerständen
Bei der Reihenschaltung werden Widerstände hintereinander geschaltet. Der Gesamtwiderstand ist die Summe aller Einzelwiderstände:
$\displaystyle R_{ges} = R_1 + R_2 + R_3 + ...$
💡 Merke: Der Gesamtwiderstand ist bei der Reihenschaltung immer größer als der größte Einzelwiderstand.
Der Spannungsteiler
Fragen ED101, ED102, ED103: Bei einer Reihenschaltung teilt sich die Spannung proportional zu den Widerständen auf (weil durch alle Widerstände derselbe Strom fließt: $U = I \cdot R$).
Spannungsteiler-Regel:
$\displaystyle \frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2}$
Oder: $\displaystyle U_2 = U_{ges} \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2}$
Schaltung zu Frage ED101:
📝 Rechnung ED101: $R_1 = 5 \cdot R_2$
Da die Spannung proportional zum Widerstand ist:
$\displaystyle \frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{5 \cdot R_2}{R_2} = 5$
Also: $U_1 = 5 \cdot U_2$ ✓
Schaltung zu Frage ED102:
📝 Rechnung ED102: $R_1 = \frac{R_2}{6}$
$\displaystyle \frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_2/6}{R_2} = \frac{1}{6}$
Also: $U_1 = \frac{U_2}{6}$ ✓
Schaltung zu Frage ED103:
📝 Rechnung ED103: $U = 9\,\text{V}$, $R_1 = 10\,\text{k}\Omega$, $R_2 = 20\,\text{k}\Omega$
$\displaystyle U_2 = U_{ges} \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 9\,\text{V} \cdot \frac{20\,\text{k}\Omega}{10\,\text{k}\Omega + 20\,\text{k}\Omega} = 9\,\text{V} \cdot \frac{2}{3} = 6{,}0\,\text{V}$ ✓
Parallelschaltung von Widerständen
Fragen ED104, ED105, ED106: Bei der Parallelschaltung addieren sich die Kehrwerte (Leitwerte):
$\displaystyle \frac{1}{R_{ges}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + ...$
Für zwei Widerstände gibt es eine praktische Formel:
$\displaystyle R_{ges} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$
💡 Merke: Der Gesamtwiderstand ist bei der Parallelschaltung immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.
💡 Faustregel: Bei gleich großen Widerständen parallel gilt: $\displaystyle R_{ges} = \frac{R}{n}$
Spezialfall zwei gleiche: $\displaystyle R_{ges} = \frac{R}{2}$, z. B. $100\,\Omega \parallel 100\,\Omega = 50\,\Omega$
📝 Rechnung ED104: $R_1 = 100\,\Omega$, $R_2 = 400\,\Omega$
$\displaystyle R_{ges} = \frac{100 \cdot 400}{100 + 400} = \frac{40000}{500} = 80\,\Omega$ ✓
📝 Rechnung ED106: Drei gleiche Widerstände parallel → $R_{ges} = 1{,}7\,\text{k}\Omega$
Bei n gleichen Widerständen parallel gilt: $R_{ges} = \frac{R}{n}$
Umgestellt: $R = R_{ges} \cdot n = 1{,}7\,\text{k}\Omega \cdot 3 = 5{,}1\,\text{k}\Omega$ ✓
Belastbarkeit bei Zusammenschaltung
Frage ED107: Wenn drei gleiche Widerstände mit je 1 W Belastbarkeit zusammengeschaltet werden, wie groß ist die Gesamtbelastbarkeit?
Antwort: Bei gleichen Widerständen mit gleichmäßiger Belastung ergibt sich 3 W Gesamtbelastbarkeit - sowohl bei Reihen- als auch bei Parallelschaltung.
Warum?
- Reihenschaltung: Gleicher Strom durch alle → jeder Widerstand trägt 1 W bei → 3 W gesamt
- Parallelschaltung: Gleiche Spannung an allen → jeder Widerstand trägt 1 W bei → 3 W gesamt
Gemischte Widerstandsschaltungen
Fragen ED108-ED116: Bei gemischten Schaltungen geht man schrittweise vor:
- Erkenne, welche Widerstände in Reihe und welche parallel sind
- Berechne zuerst die Parallel- oder Reihenschaltungen zu Ersatzwiderständen
- Kombiniere die Ersatzwiderstände
📝 Rechnung ED108: $R_1 = 500\,\Omega$, $R_2 = 500\,\Omega$, $R_3 = 1\,\text{k}\Omega$
Schritt 1: $R_1$ und $R_2$ sind in Reihe: $R_{12} = 500 + 500 = 1000\,\Omega$
Schritt 2: $R_{12}$ und $R_3$ sind parallel:
$\displaystyle R_{ges} = \frac{1000 \cdot 1000}{1000 + 1000} = \frac{1000000}{2000} = 500\,\Omega$ ✓
Schaltung zu Frage ED109:
📝 Rechnung ED109: $R_1 = 500\,\Omega$, $R_2 = 1{,}5\,\text{k}\Omega$, $R_3 = 2\,\text{k}\Omega$
Schritt 1: $R_1$ und $R_2$ sind in Reihe: $R_{12} = 500 + 1500 = 2000\,\Omega = 2\,\text{k}\Omega$
Schritt 2: $R_{12}$ und $R_3$ sind parallel:
$\displaystyle R_{ges} = \frac{R_{12} \cdot R_3}{R_{12} + R_3} = \frac{2 \cdot 2}{2 + 2} = 1\,\text{k}\Omega$ ✓
Schaltung zu Frage ED110:
📝 Rechnung ED110: $R_1 = 500\,\Omega$, $R_2 = 1000\,\Omega = 1\,\text{k}\Omega$, $R_3 = 1\,\text{k}\Omega$
Schritt 1: $R_2$ und $R_3$ sind parallel:
$\displaystyle R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = \frac{1 \cdot 1}{1 + 1} = 0{,}5\,\text{k}\Omega = 500\,\Omega$
Schritt 2: $R_1$ und $R_{23}$ sind in Reihe:
$R_{ges} = 500 + 500 = 1000\,\Omega = 1\,\text{k}\Omega$ ✓
Schaltung zu Frage ED111:
📝 Rechnung ED111: $R_1 = 1\,\text{k}\Omega$, $R_2 = 2000\,\Omega = 2\,\text{k}\Omega$, $R_3 = 2\,\text{k}\Omega$
Schritt 1: $R_2$ und $R_3$ sind parallel:
$\displaystyle R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = \frac{2 \cdot 2}{2 + 2} = 1\,\text{k}\Omega$
Schritt 2: $R_1$ und $R_{23}$ sind in Reihe:
$R_{ges} = 1\,\text{k}\Omega + 1\,\text{k}\Omega = 2\,\text{k}\Omega$ ✓
Schaltung zu Frage ED112:
📝 Rechnung ED112: $R_1 = 1\,\text{k}\Omega$, $R_2 = 3\,\text{k}\Omega$, $R_3 = 1{,}5\,\text{k}\Omega$
Schritt 1: $R_2$ und $R_3$ sind parallel:
$\displaystyle R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = \frac{3000 \cdot 1500}{3000 + 1500} = 1000\,\Omega = 1\,\text{k}\Omega$
Schritt 2: $R_1$ und $R_{23}$ sind in Reihe:
$R_{ges} = 1\,\text{k}\Omega + 1\,\text{k}\Omega = 2\,\text{k}\Omega$ ✓
Schaltung zu Frage ED113:
📝 Rechnung ED113: $R_1 = 10\,\text{k}\Omega$, $R_2 = 2{,}5\,\text{k}\Omega$, $R_3 = 500\,\Omega$, $R_4 = 600\,\Omega$
Schritt 1: $R_1$ ∥ $R_2$: $\displaystyle \frac{10000 \cdot 2500}{10000 + 2500} = 2000\,\Omega$
Schritt 2: $R_3$ ∥ $(R_1 \| R_2)$: $\displaystyle \frac{500 \cdot 2000}{500 + 2000} = 400\,\Omega$
Schritt 3: $R_4$ in Reihe: $600 + 400 = \mathbf{1000\,\Omega = 1\,\text{k}\Omega}$ ✓
Schaltung zu Frage ED114:
📝 Rechnung ED114: Oben drei Widerstaende mit je $100\,\Omega$ in Reihe, dazu zwei Bypaesse aus je zwei $50\,\Omega$-Widerstaenden in Reihe ($= 100\,\Omega$), unten $50\,\Omega$.
Schritt 1: Jeder Bypass ($50 + 50 = 100\,\Omega$) liegt parallel zum mittleren $100\,\Omega$:
$\displaystyle R_{\text{parallel}} = \frac{100 \cdot 100}{100 + 100} = 50\,\Omega$ (zweimal)
Schritt 2: Alles in Reihe addieren:
$R_{ges} = 100 + 50 + 50 + 50 = \mathbf{250\,\Omega}$ ✓
Schaltung zu Frage ED115:
📝 Rechnung ED115: Gleiche Topologie wie ED114, aber andere Werte: oben $3 \times 200\,\Omega$, Bypaesse aus $2 \times 100\,\Omega$, unten $150\,\Omega$.
Schritt 1: Bypass $100 + 100 = 200\,\Omega$ parallel zu $200\,\Omega$:
$\displaystyle R_{\text{parallel}} = \frac{200 \cdot 200}{200 + 200} = 100\,\Omega$ (zweimal)
Schritt 2: Reihensumme:
$R_{ges} = 200 + 100 + 100 + 150 = \mathbf{550\,\Omega}$ ✓
Schaltung zu Frage ED116:
📝 Rechnung ED116: Gleiche Topologie wie ED114/ED115: oben $3 \times 400\,\Omega$, Bypaesse aus $2 \times 200\,\Omega$, unten $150\,\Omega$.
Schritt 1: Bypass $200 + 200 = 400\,\Omega$ parallel zu $400\,\Omega$:
$\displaystyle R_{\text{parallel}} = \frac{400 \cdot 400}{400 + 400} = 200\,\Omega$ (zweimal)
Schritt 2: Reihensumme:
$R_{ges} = 400 + 200 + 200 + 150 = \mathbf{950\,\Omega}$ ✓
Teil 2: Kondensatoren
💡 Wichtig: Bei Kondensatoren ist es genau umgekehrt wie bei Widerständen!
- Parallelschaltung → Kapazitäten addieren sich
- Reihenschaltung → Kehrwerte addieren sich
Parallelschaltung von Kondensatoren
Fragen ED117, ED118: Bei der Parallelschaltung addieren sich die Kapazitäten:
$\displaystyle C_{ges} = C_1 + C_2 + C_3 + ...$
📝 Rechnung ED117: $C_1 = 0{,}1\,\mu\text{F}$, $C_2 = 150\,\text{nF}$, $C_3 = 50000\,\text{pF}$
Erst Einheiten angleichen!
$C_1 = 0{,}1\,\mu\text{F} = 100\,\text{nF}$
$C_2 = 150\,\text{nF}$
$C_3 = 50000\,\text{pF} = 50\,\text{nF}$
$C_{ges} = 100 + 150 + 50 = 300\,\text{nF} = 0{,}3\,\mu\text{F}$ ✓
📝 Rechnung ED118: $C_1 = 22\,\text{nF}$, $C_2 = 0{,}033\,\mu\text{F}$, $C_3 = 15000\,\text{pF}$
Erst Einheiten angleichen!
$C_1 = 22\,\text{nF}$
$C_2 = 0{,}033\,\mu\text{F} = 33\,\text{nF}$
$C_3 = 15000\,\text{pF} = 15\,\text{nF}$
$C_{ges} = 22 + 33 + 15 = 70\,\text{nF} = 0{,}070\,\mu\text{F}$ ✓
💡 Einheiten-Umrechnung:
- $1\,\mu\text{F} = 1000\,\text{nF} = 1000000\,\text{pF}$
- $1\,\text{nF} = 1000\,\text{pF}$
Reihenschaltung von Kondensatoren
Fragen ED119, ED120: Bei der Reihenschaltung addieren sich die Kehrwerte:
$\displaystyle \frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + ...$
Für n gleiche Kondensatoren in Reihe: $\displaystyle C_{ges} = \frac{C}{n}$
💡 Faustregel: Spezialfall zwei gleiche Kondensatoren in Reihe: $\displaystyle C_{ges} = \frac{C}{2}$, z. B. $100\,\text{nF}$ in Reihe mit $100\,\text{nF} = 50\,\text{nF}$
📝 Rechnung ED119: Drei Kondensatoren je $0{,}33\,\mu\text{F}$ in Reihe
$\displaystyle C_{ges} = \frac{C}{n} = \frac{0{,}33\,\mu\text{F}}{3} = 0{,}11\,\mu\text{F} = 0{,}110\,\mu\text{F}$ ✓
📝 Rechnung ED120: $C_1 = 100\,\mu\text{F}$, $C_2 = 200000\,\text{nF} = 200\,\mu\text{F}$, $C_3 = 200\,\mu\text{F}$
$\displaystyle \frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{100} + \frac{1}{200} + \frac{1}{200} = \frac{2}{200} + \frac{1}{200} + \frac{1}{200} = \frac{4}{200} = \frac{1}{50}$
$C_{ges} = 50\,\mu\text{F}$ ✓
Gemischte Kondensatorschaltungen
Fragen ED121-ED124: Auch hier schrittweise vorgehen!
Schaltung zu Frage ED121:
📝 Rechnung ED121: $C_1 = 10\,\text{nF}$, $C_2 = 10\,\text{nF}$, $C_3 = 5\,\text{nF}$
Schritt 1: $C_1$ und $C_2$ sind in Reihe:
$\displaystyle C_{12} = \frac{C_1 \cdot C_2}{C_1 + C_2} = \frac{10 \cdot 10}{10 + 10} = 5\,\text{nF}$
Schritt 2: $C_{12}$ und $C_3$ sind parallel:
$C_{ges} = 5 + 5 = 10\,\text{nF}$ ✓
Schaltung zu Frage ED122:
📝 Rechnung ED122: $C_1 = 2\,\mu\text{F}$, $C_2 = 1\,\mu\text{F}$, $C_3 = 1\,\mu\text{F}$
Schritt 1: $C_2$ und $C_3$ sind parallel: $C_{23} = 1 + 1 = 2\,\mu\text{F}$
Schritt 2: $C_1$ und $C_{23}$ sind in Reihe:
$\displaystyle C_{ges} = \frac{C_1 \cdot C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{2 \cdot 2}{2 + 2} = 1{,}0\,\mu\text{F}$ ✓
Schaltung zu Frage ED123:
📝 Rechnung ED123: $C_1 = 8\,\text{nF}$, $C_2 = 4\,\text{nF}$, $C_3 = 4\,\text{nF}$ (Topologie wie ED122: $C_1$ in Reihe mit $C_2 \parallel C_3$)
Schritt 1: $C_2$ und $C_3$ sind parallel: $C_{23} = 4 + 4 = 8\,\text{nF}$
Schritt 2: $C_1$ und $C_{23}$ sind in Reihe:
$\displaystyle C_{ges} = \frac{C_1 \cdot C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{8 \cdot 8}{8 + 8} = 4\,\text{nF}$ ✓
Schaltung zu Frage ED124:
📝 Rechnung ED124: $C_1 = 200\,\text{nF}$, $C_2 = 100\,\text{nF}$, $C_3 = 100000\,\text{pF} = 100\,\text{nF}$ (gleiche Topologie wie ED122/ED123)
Schritt 1: $C_2$ und $C_3$ sind parallel: $C_{23} = 100 + 100 = 200\,\text{nF}$
Schritt 2: $C_1$ und $C_{23}$ sind in Reihe:
$\displaystyle C_{ges} = \frac{C_1 \cdot C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{200 \cdot 200}{200 + 200} = 100\,\text{nF}$ ✓
Vergleich: Widerstände vs. Kondensatoren
| Schaltung | Widerstände | Kondensatoren |
|---|---|---|
| Reihenschaltung | $R_{ges} = R_1 + R_2 + ...$ (Werte addieren) | $\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ...$ (Kehrwerte addieren) |
| Parallelschaltung | $\frac{1}{R_{ges}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ...$ (Kehrwerte addieren) | $C_{ges} = C_1 + C_2 + ...$ (Werte addieren) |
| Ergebnis Reihe | Größer als größter Einzelwert | Kleiner als kleinster Einzelwert |
| Ergebnis Parallel | Kleiner als kleinster Einzelwert | Größer als größter Einzelwert |
Zusammenfassung für die Prüfung
| Frage | Thema | Richtige Antwort |
|---|---|---|
| ED101 | Spannungsteiler $R_1 = 5 \cdot R_2$ | $U_1 = 5 \cdot U_2$ |
| ED102 | Spannungsteiler $R_1 = R_2/6$ | $U_1 = U_2/6$ |
| ED103 | Spannungsteiler 10k/20k bei 9V | $U_2 = 6{,}0\,\text{V}$ |
| ED104 | 100Ω ∥ 400Ω | 80 Ω |
| ED105 | 50Ω ∥ 200Ω | 40 Ω |
| ED106 | 3× gleich parallel = 1,7kΩ | Einzelwert: 5,1 kΩ |
| ED107 | Belastbarkeit 3×1W | 3 W bei Reihe UND Parallel |
| ED108 | Gemischte R-Schaltung | 500 Ω |
| ED109 | Gemischte R-Schaltung | 1 kΩ |
| ED110 | Gemischte R-Schaltung | 1 kΩ |
| ED111 | Gemischte R-Schaltung | 2 kΩ |
| ED112 | Gemischte R-Schaltung | 2 kΩ |
| ED113 | Gemischte R-Schaltung (4 Widerstände) | 1 kΩ |
| ED114 | Gemischte R-Schaltung | 250 Ω |
| ED115 | Gemischte R-Schaltung | 550 Ω |
| ED116 | Gemischte R-Schaltung | 950 Ω |
| ED117 | 3 Kondensatoren parallel | 0,3 µF |
| ED118 | 3 Kondensatoren parallel | 0,070 µF |
| ED119 | 3× 0,33µF in Reihe | 0,110 µF |
| ED120 | 100µF, 200µF, 200µF in Reihe | 50 µF |
| ED121 | Gemischte C-Schaltung | 10 nF |
| ED122 | Gemischte C-Schaltung | 1,0 µF |
| ED123 | Gemischte C-Schaltung | 4 nF |
| ED124 | Gemischte C-Schaltung | 100 nF |
Wissenskontrolle
0 / 24 Fragen richtigWie teilt sich die Spannung an zwei in Reihe geschalteten Widerständen auf, wenn $R_1$ = 5-mal so groß ist wie $R_2$?
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Wie teilt sich die Spannung an zwei in Reihe geschalteten Widerständen auf, wenn $R_1 = \frac{1}{6}$ von $R_2$ ist?
Die Gesamtspannung $U$ an folgendem Spannungsteiler beträgt 9 V. Die Widerstände haben die Werte $R_1$ = 10 kOhm und $R_2$ = 20 kOhm. Wie groß ist die Teilspannung $U_2$?
Zwei Widerstände mit $R_1 = 100 Ohm$ und $R_2 = 400 Ohm$ sind parallel geschaltet. Wie groß ist der Gesamtwiderstand?
Zwei Widerstände mit $R_1$ = 50 Ohm und $R_2$ = 200 Ohm sind parallel geschaltet. Wie groß ist der Gesamtwiderstand?
Drei gleich große parallel geschaltete Widerstände haben einen Gesamtwiderstand von 1,7 kOhm. Welchen Wert hat jeder Einzelwiderstand?
Welche Belastbarkeit kann die Zusammenschaltung von drei gleich großen Widerständen mit einer Einzelbelastbarkeit von je 1 W erreichen, wenn alle 3 Widerstände entweder parallel oder in Reihe geschaltet werden?
Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Gegeben: $R_1$ = 500 Ohm, $R_2$ = 500 Ohm und $R_3$ = 1 kOhm
Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Gegeben: $R_1$ = 500 Ohm, $R_2$ = 1,5 kOhm und $R_3$ = 2 kOhm
Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Gegeben: $R_1$ = 500 Ohm, $R_2$ = 1000 Ohm und $R_3$ = 1 kOhm
Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Gegeben: $R_1$ = 1 kOhm, $R_2$ = 2000 Ohm und $R_3$ = 2 kOhm
Wie groß ist der Gesamtwiderstand dieser Schaltung, wenn $R_1$ = 1 kOhm, $R_2$ = 3 kOhm und $R_3$ = 1500 Ohm betragen?
Wie groß ist der Gesamtwiderstand dieser Schaltung, wenn $R_1$ = 10 kOhm, $R_2$ = 2,5 kOhm, $R_3$ = 500 Ohm und $R_4$ = 600 Ohm betragen?
Wie groß ist der Gesamtwiderstand der dargestellten Schaltung?
Wie groß ist der Gesamtwiderstand der dargestellten Schaltung?
Wie groß ist der Gesamtwiderstand der dargestellten Schaltung?
Drei Kondensatoren mit den Kapazitäten $C_1$ = 0,1 μF, $C_2$ = 150 nF und $C_3$ = 50000 pF werden parallel geschaltet. Wie groß ist die Gesamtkapazität?
Wie groß ist die Gesamtkapazität von drei parallel geschalteten Kondensatoren von 22 nF, 0,033 μF und 15000 pF?
Eine Reihenschaltung besteht aus drei Kondensatoren von je 0,33 μF. Wie groß ist die Gesamtkapazität dieser Schaltung?
Welche Gesamtkapazität ergibt sich bei einer Reihenschaltung der Kondensatoren 100 μF, 200000 nF und 200 μF?
Welche Gesamtkapazität hat die folgende Schaltung? Gegeben: $C_1$ = 10 nF; $C_2$ = 10 nF; $C_3$ = 5 nF
Welche Gesamtkapazität hat diese Schaltung, wenn $C_1$ = 2 μF, $C_2$ = 1 μF und $C_3$ = 1 μF betragen?
Welche Gesamtkapazität hat die folgende Schaltung? Gegeben: $C_1$ = 8 nF; $C_2$ = 4 nF; $C_3$ = 4 nF
Welche Gesamtkapazität hat diese Schaltung, wenn $C_1$ = 200 nF, $C_2$ = 100 nF und $C_3$ = 100000 pF betragen?