Binäres Zahlensystem
Das Binäre Zahlensystem
Computer, Mikrocontroller und digitale Schaltungen arbeiten mit dem Binärsystem (auch Dualsystem genannt). Während wir im Alltag mit dem Dezimalsystem (10 Ziffern: 0-9) rechnen, nutzt die Elektronik nur zwei Ziffern: 0 und 1.
Warum Binär in der Elektronik?
Frage EA201: Der große Vorteil des Binärsystems ist die einfache technische Umsetzung:
- 0 = Schalter AUS, kein Strom, niedrige Spannung (z.B. 0V)
- 1 = Schalter EIN, Strom fließt, hohe Spannung (z.B. 5V)
Stellenwerte im Binärsystem
Im Dezimalsystem hat jede Stelle einen 10er-Potenz als Stellenwert (1, 10, 100, 1000...).
Im Binärsystem verdoppelt sich der Stellenwert mit jeder Stelle - es sind 2er-Potenzen:
| Stelle | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Stellenwert | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Als Potenz | $2^7$ | $2^6$ | $2^5$ | $2^4$ | $2^3$ | $2^2$ | $2^1$ | $2^0$ |
1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 512 → 1024
(Jede Zahl ist das Doppelte der vorherigen)
Anzahl möglicher Zustände
Fragen EA202, EA203, EA204: Mit n Bit lassen sich $2^n$ verschiedene Zustände darstellen.
| Anzahl Bit | Formel | Anzahl Zustände | Wertebereich |
|---|---|---|---|
| 1 Bit | $2^1$ | 2 | 0 - 1 |
| 2 Bit | $2^2$ | 4 | 0 - 3 |
| 3 Bit | $2^3$ | 8 | 0 - 7 |
| 4 Bit | $2^4$ | 16 | 0 - 15 |
| 5 Bit | $2^5$ | 32 | 0 - 31 |
| 8 Bit (1 Byte) | $2^8$ | 256 | 0 - 255 |
$2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32$ - diese drei Werte kommen in der Prüfung vor!
Umrechnung: Binär → Dezimal
Fragen EA205, EA206, EA207, EA208: So rechnest du eine Binärzahl in eine Dezimalzahl um:
Methode: Stellenwerte addieren
- Schreibe über jede Ziffer ihren Stellenwert (128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1)
- Addiere alle Stellenwerte, unter denen eine 1 steht
- Ignoriere alle Stellen mit einer 0
Beispiel EA205: 01001110
Stellenwert: 128 64 32 16 8 4 2 1
Binärzahl: 0 1 0 0 1 1 1 0
↓ ↓ ↓ ↓
Addieren: 64 + 8 + 4 + 2 = 78
Beispiel EA206: 10001110
Stellenwert: 128 64 32 16 8 4 2 1
Binärzahl: 1 0 0 0 1 1 1 0
↓ ↓ ↓ ↓
Addieren: 128 + 8 + 4 + 2 = 142
Beispiel EA207: 10011100
Stellenwert: 128 64 32 16 8 4 2 1
Binärzahl: 1 0 0 1 1 1 0 0
↓ ↓ ↓ ↓
Addieren: 128 + 16 + 8 + 4 = 156
Beispiel EA208: 11111000
Stellenwert: 128 64 32 16 8 4 2 1
Binärzahl: 1 1 1 1 1 0 0 0
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
Addieren: 128+ 64+ 32+ 16+ 8 = 248
Zusammenfassung für die Prüfung
| Frage | Thema | Richtige Antwort |
|---|---|---|
| EA201 | Vorteil Binärsystem | Einfache Darstellung als zwei Schaltzustände |
| EA202 | 3 Bit = ? Zustände | 8 ($2^3$) |
| EA203 | 4 Bit = ? Zustände | 16 ($2^4$) |
| EA204 | 5 Bit = ? Zustände | 32 ($2^5$) |
| EA205 | 01001110 = ? | 78 (64+8+4+2) |
| EA206 | 10001110 = ? | 142 (128+8+4+2) |
| EA207 | 10011100 = ? | 156 (128+16+8+4) |
| EA208 | 11111000 = ? | 248 (128+64+32+16+8) |
Wissenskontrolle
0 / 8 Fragen richtigWas ist der Vorteil des binären Zahlensystems gegenüber dem dezimalen Zahlensystem in elektronischen Schaltungen?