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Sinusförmige Signale

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Sinusförmige Signale verstehen

Sinusförmige Wechselspannungen und Wechselströme sind die Grundlage der gesamten Elektrotechnik. Ob Netzstrom, Audiosignale oder Hochfrequenz im Amateurfunk - überall begegnen uns Sinusschwingungen. Diese Lerneinheit erklärt dir die wichtigsten Begriffe und zeigt, wie du die Prüfungsfragen AB301, AB302 und AB303 löst.

Stell dir vor: Eine Sinusschwingung ist wie ein Kind auf einer Schaukel:
  • Am höchsten Punkt vorne = Maximum (+)
  • In der Mitte (Durchschwung) = Nulldurchgang
  • Am höchsten Punkt hinten = Minimum (−)
  • Nach einer kompletten Hin- und Herbewegung = eine Periode

Die Sinuskurve im Überblick

Eine Sinusschwingung beschreibt einen Wert, der sich periodisch (regelmäßig wiederholend) zwischen einem Maximum und einem Minimum bewegt.

BegriffSymbolBedeutung
Amplitude$U_{max}$, $I_{max}$Maximalwert (Scheitelwert)
Periodendauer$T$Dauer einer Schwingung
Frequenz$f$Schwingungen pro Sekunde
Phasenwinkel$\varphi$Position in der Schwingung

Phasenwinkel - wie eine Uhr ablesen

Analogie: Der Phasenwinkel ist wie die Position eines Uhrzeigers:
  • 0°/360° = 12 Uhr (Zeiger startet oben)
  • 90° = 3 Uhr (Viertel rum)
  • 180° = 6 Uhr (halb rum)
  • 270° = 9 Uhr (dreiviertel rum)
Eine volle Umdrehung = 360° = eine komplette Sinusperiode

Der Phasenwinkel gibt an, wo sich das Signal gerade innerhalb einer Periode befindet. Es gibt zwei Maßeinheiten - Grad und Radiant:

Grad (°)

  • Volle Periode = 360°
  • Intuitive Winkelangabe
  • Im Alltag üblich

Radiant (rad)

  • Volle Periode = 2π
  • Mathematisch eleganter
  • In Formeln üblich

Die wichtigsten Phasenwinkel (AB302)

PositionGradRadiantSignalwert
Start (Nulldurchgang ↑)0°00, steigend
Maximum90°$\frac{\pi}{2}$+Maximum
Nulldurchgang ↓180°$\pi$0, fallend
Minimum (X₃)270°$\frac{3\pi}{2}$−Maximum
Ende = Start360°$2\pi$0, steigend
Sinussignal mit Phasenwinkel X₃

Abbildung: Position X₃ beim Minimum = 270° (Klick zum Vergrößern)

So erkennst du den Phasenwinkel (AB302):
  1. Finde den Nulldurchgang mit steigender Flanke → das ist 0°
  2. Zähle die Abschnitte bis zur gesuchten Stelle
  3. Eine Halbwelle (180°) hat meist 4 Markierungen → je 45° pro Abschnitt
  4. X₃ beim Minimum = 270° = $\frac{3\pi}{2}$

Umrechnung:

$\text{Radiant} = \text{Grad} \times \frac{\pi}{180°}$     $\text{Grad} = \text{Radiant} \times \frac{180°}{\pi}$

Beispiel 270° → Radiant: $270° \times \frac{\pi}{180°} = \frac{3\pi}{2}$

Phasendifferenz zwischen zwei Signalen (AB303)

Wenn zwei Sinussignale nicht gleichzeitig ihre Maxima erreichen, gibt es eine Phasendifferenz.

Zwei Sinussignale mit Phasendifferenz

Abbildung: Zwei Sinussignale mit Phasenverschiebung (Klick zum Vergrößern)

So erkennst du die Phasendifferenz (AB303):
  1. Finde den gleichen Punkt bei beiden Signalen (z.B. Nulldurchgang aufwärts)
  2. Miss den horizontalen Abstand zwischen diesen Punkten
  3. Rechne in Grad um: Eine volle Periode = 360°
  4. Im Bild: Verschiebung um 1/8 Periode = 45°

WARUM ist die Antwort 45°? Wenn eine Sinuskurve genau um ein Achtel der Periodendauer versetzt ist, entspricht das $\frac{360°}{8} = 45°$.

Effektivwert und Leistung (AB301)

Der Effektivwert ist entscheidend für Leistungsberechnungen:

Analogie: Stell dir vor, du wiegst einen Sack mit Äpfeln. Der Sack schwankt hin und her (wie Wechselstrom). Der Effektivwert ist das "Durchschnittsgewicht", das du auf der Waage ablesen würdest - nicht der Maximalausschlag!

Formel:

$I_{eff} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} \approx I_{max} \times 0{,}707$

Leistung an einem Widerstand:

$P = I_{eff}^2 \cdot R = \frac{I_{max}^2}{2} \cdot R$

Prüfungstipp: Merke dir: $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707$ und $\frac{1}{2} = 0{,}5$. Bei der Leistung wird $I_{max}^2$ halbiert!

Rechenbeispiel AB301

Gegeben: $I_{max} = 0{,}5\,\text{A}$, $R = 20\,\Omega$

Gesucht: Leistung $P$

$P = \frac{I_{max}^2}{2} \cdot R = \frac{(0{,}5\,\text{A})^2}{2} \cdot 20\,\Omega = \frac{0{,}25}{2} \cdot 20 = 0{,}125 \cdot 20 = \mathbf{2{,}5\,\text{W}}$

WARUM ist 2,5 W richtig? Die Leistung bei Wechselstrom basiert auf dem Effektivwert, nicht dem Maximalwert. Da $I_{eff}^2 = \frac{I_{max}^2}{2}$, müssen wir das Quadrat der Amplitude halbieren.

WARUM ist 5 W falsch? Das wäre $I_{max}^2 \cdot R$ ohne die Halbierung - das gilt nur für Gleichstrom!

Zusammenfassung für die Prüfung

FrageThemaLösungMerkhilfe
AB301Leistung bei Wechselstrom$P = \frac{I_{max}^2}{2} \cdot R = 2{,}5\,\text{W}$Amplitude² halbieren!
AB302Phasenwinkel am Minimum270° = $\frac{3\pi}{2}$Minimum = dreiviertel rum
AB303Phasendifferenz ablesen45° (1/8 Periode)Verschiebung in Grad umrechnen
Die 3 wichtigsten Formeln:
  • Effektivwert: $I_{eff} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$
  • Leistung: $P = \frac{I_{max}^2}{2} \cdot R$
  • Umrechnung: $\text{Radiant} = \text{Grad} \times \frac{\pi}{180°}$

Wissenskontrolle

0 / 3 Fragen richtig
AB301

Ein sinusförmiger Wechselstrom mit einer Amplitude $I_{\textrm{max}}$ von 0,5 Ampere fließt durch einen Widerstand von 20 Ohm. Wieviel Leistung wird in Wärme umgesetzt?

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AB302

Welche Antwort enthält die richtigen Phasenwinkel der dargestellten sinusförmigen Wechselspannung an der mit X$_3$ bezeichneten Stelle?

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AB303

Der Betrag der Phasendifferenz zwischen den beiden in der Abbildung dargestellten Sinussignalen ist ...

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