Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen, Spulen und Kondensatoren

Reihen- und Parallelschaltung

Stell dir vor: Elektrische Bauteile sind wie Hindernisse in einem Wasserkanal. Bei einer Reihenschaltung stehen die Hindernisse hintereinander - das Wasser muss durch jedes einzelne durch, alle Widerstände addieren sich. Bei einer Parallelschaltung sind die Hindernisse nebeneinander - das Wasser kann sich aufteilen, der Gesamtwiderstand wird kleiner.

Warum ist das wichtig für den Amateurfunk?

Anpassnetzwerke: Kombinationen aus L und C für Impedanzanpassung
Spannungsteiler: Abschwächer, Messadapter, Bias-Schaltungen
Filter: Tiefpass, Hochpass, Bandpass aus R, L, C
Brückenschaltungen: SWR-Meter, Messbrücken

Grundformeln: Reihen- und Parallelschaltung

Reihenschaltung

Widerstände:
$R_{ges} = R_1 + R_2 + R_3$

Spulen:
$L_{ges} = L_1 + L_2 + L_3$

Kondensatoren:
$\displaystyle\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$

Parallelschaltung

Widerstände:
$\displaystyle\frac{1}{R_{ges}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$

Spulen:
$\displaystyle\frac{1}{L_{ges}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}$

Kondensatoren:
$C_{ges} = C_1 + C_2 + C_3$

Eselsbrücke: Kondensatoren verhalten sich umgekehrt wie Widerstände! Parallel → addieren, Reihe → Kehrwert-Formel.

Frage AD101: Kondensatoren in Reihe

Frage AD101: $C_1 = 0{,}10\,\text{nF}$, $C_2 = 47\,\text{pF}$, $C_3 = 22\,\text{pF}$ in Reihe. Gesamtkapazität?

Schritt 1: Alle Werte in pF umrechnen

$C_1 = 0{,}10\,\text{nF} = 100\,\text{pF}$

Schritt 2: Kehrwert-Formel anwenden

$\displaystyle\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{100\,\text{pF}} + \frac{1}{47\,\text{pF}} + \frac{1}{22\,\text{pF}} = 0{,}01 + 0{,}0213 + 0{,}0455 = 0{,}0768\,\text{pF}^{-1}$

Schritt 3: Kehrwert bilden

$C_{ges} = \frac{1}{0{,}0768} \approx \mathbf{13{,}0\,\text{pF}}$

Tipp: Bei Kondensatoren in Reihe ist das Ergebnis immer kleiner als der kleinste Einzelkondensator!

Frage AD102: Spulen in Reihe

Frage AD102: $L_1 = 2200\,\text{nH}$, $L_2 = 0{,}033\,\text{mH}$, $L_3 = 150\,\mu\text{H}$ in Reihe.

Schritt 1: Alle Werte in μH umrechnen

$L_1 = 2200\,\text{nH} = 2{,}2\,\mu\text{H}$
$L_2 = 0{,}033\,\text{mH} = 33\,\mu\text{H}$
$L_3 = 150\,\mu\text{H}$

Schritt 2: Addieren (Reihenschaltung!)

$L_{ges} = 2{,}2 + 33 + 150 = \mathbf{185{,}2\,\mu\text{H}}$

Frage AD103: Gemischte Kondensatorschaltung

Frage AD103: $C_1 = 0{,}1\,\text{nF}$, $C_2 = 1{,}5\,\text{nF}$, $C_3 = 220\,\text{pF}$, Eigenkapazität Spule $= 1\,\text{pF}$.

Aus dem Schaltbild: $C_1$, $C_2$, $C_3$ und die Eigenkapazität liegen parallel!

$C_{ges} = 100\,\text{pF} + 1500\,\text{pF} + 220\,\text{pF} + 1\,\text{pF} = \mathbf{1821\,\text{pF}}$

Fragen AD104 & AD105: Scheinwiderstand berechnen

Der Scheinwiderstand $|Z|$ einer Reihenschaltung aus R und X berechnet sich mit Pythagoras:

$|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}$

AD104: R-C-Reihenschaltung

Gegeben: $R = 100\,\Omega$, $C = 1\,\text{nF}$, $f = 1\,\text{MHz}$

Schritt 1: Kapazitiver Blindwiderstand berechnen

$X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \cdot 10^6 \cdot 10^{-9}} = \frac{1}{0{,}00628} \approx 159\,\Omega$

Schritt 2: Scheinwiderstand berechnen

$|Z| = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{100^2 + 159^2} = \sqrt{10000 + 25281} = \sqrt{35281} \approx \mathbf{188\,\Omega}$

AD105: R-L-Reihenschaltung

Gegeben: $R = 100\,\Omega$, $L = 100\,\mu\text{H}$, $f = 1\,\text{MHz}$

Schritt 1: Induktiver Blindwiderstand berechnen

$X_L = 2\pi f L = 2\pi \cdot 10^6 \cdot 100 \cdot 10^{-6} = 628\,\Omega$

Schritt 2: Scheinwiderstand berechnen

$|Z| = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{100^2 + 628^2} = \sqrt{10000 + 394384} = \sqrt{404384} \approx \mathbf{636\,\Omega}$

Fragen AD106-AD108: Spannungsteiler

Bei drei gleichen Widerständen in Reihe teilt sich die Spannung gleichmäßig auf:

AD106: Spannung berechnen

Gegeben: $I_{R3} = 1\,\text{mA}$, $R_1 = R_2 = R_3 = 10\,\text{k}\Omega$

$R_{ges} = 3 \cdot 10\,\text{k}\Omega = 30\,\text{k}\Omega$
$U = I \cdot R_{ges} = 1\,\text{mA} \cdot 30\,\text{k}\Omega = \mathbf{30\,\text{V}}$

AD107: Strom berechnen

Gegeben: $U = 15\,\text{V}$, $R_1 = R_2 = R_3 = 10\,\text{k}\Omega$

$I = \frac{U}{R_{ges}} = \frac{15\,\text{V}}{30\,\text{k}\Omega} = \mathbf{0{,}5\,\text{mA}}$

AD108: Leistung berechnen

Mit $I = 0{,}5\,\text{mA}$ und $R_2 = 10\,\text{k}\Omega$:

$P_{R2} = I^2 \cdot R_2 = (0{,}5\,\text{mA})^2 \cdot 10\,\text{k}\Omega = 0{,}25 \cdot 10^{-6} \cdot 10^4 = \mathbf{2{,}5\,\text{mW}}$

Fragen AD109 & AD110: Gemischte Schaltungen

AD109: Variabler Eingangswiderstand

Bei komplexeren Schaltungen: Schrittweise Reihen- und Parallelschaltungen zusammenfassen.

AD110: Brücken-ähnliche Schaltung

Gegeben: $R_1 = R_3 = 2{,}2\,\text{k}\Omega$, $R_2 = R_4 = 220\,\Omega$

Wenn die Schaltung aus zwei parallelen Zweigen besteht, jeweils mit R in Reihe:

$R_{Zweig1} = R_1 + R_2 = 2200 + 220 = 2420\,\Omega$
$R_{Zweig2} = R_3 + R_4 = 2200 + 220 = 2420\,\Omega$
$R_{ges} = \frac{2420 \cdot 2420}{2420 + 2420} = \frac{2420}{2} = \mathbf{1210\,\Omega}$

Fragen AD111-AD113: Brückenschaltung

Die Wheatstone-Brücke ist eine wichtige Messschaltung.

AD111: Abgleichbedingung

Die Brücke ist abgeglichen (keine Spannung zwischen A und B), wenn:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$

Eselsbrücke: Die gegenüberliegenden Widerstände stehen im gleichen Verhältnis. Wie ein "X" durch die Brücke!

AD112: Symmetrische Brücke

Gegeben: Alle Widerstände $= 50\,\Omega$

Da alle Widerstände gleich sind, ist die Brücke abgeglichen:

$U_{AB} = \mathbf{0\,\text{V}}$

AD113: Unsymmetrische Brücke

Gegeben: $U = 11\,\text{V}$, $R_1 = 1\,\text{k}\Omega$, $R_2 = 10\,\text{k}\Omega$, $R_3 = 10\,\text{k}\Omega$, $R_4 = 1\,\text{k}\Omega$

Spannung am Punkt A (Spannungsteiler $R_1$/$R_2$):

$U_A = U \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 11\,\text{V} \cdot \frac{10}{11} = 10\,\text{V}$

Spannung am Punkt B (Spannungsteiler $R_3$/$R_4$):

$U_B = U \cdot \frac{R_4}{R_3 + R_4} = 11\,\text{V} \cdot \frac{1}{11} = 1\,\text{V}$

Brückenspannung:

$U_{AB} = U_A - U_B = 10\,\text{V} - 1\,\text{V} = \mathbf{9\,\text{V}}$

Fragen AD114 & AD115: Belasteter Spannungsteiler

AD114: Spannung am belasteten Teiler

Gegeben: $U_B = 12\,\text{V}$, $R_1 = 10\,\text{k}\Omega$, $R_2 = 2{,}2\,\text{k}\Omega$, $R_L = 8{,}2\,\text{k}\Omega$

Schritt 1: $R_2$ und $R_L$ parallel berechnen

$R_{2||L} = \frac{R_2 \cdot R_L}{R_2 + R_L} = \frac{2{,}2 \cdot 8{,}2}{2{,}2 + 8{,}2} = \frac{18{,}04}{10{,}4} \approx 1{,}73\,\text{k}\Omega$

Schritt 2: Spannung am Parallelwiderstand

$U_2 = U_B \cdot \frac{R_{2||L}}{R_1 + R_{2||L}} = 12\,\text{V} \cdot \frac{1{,}73}{10 + 1{,}73} = 12 \cdot \frac{1{,}73}{11{,}73} \approx \mathbf{1{,}8\,\text{V}}$

AD115: Wirkung der Last

Wenn ein Spannungsteiler mit $R_L$ belastet wird:

Der Gesamtwiderstand der Schaltung sinkt (Parallelschaltung!)
Der Strom $I_1$ durch $R_1$ steigt
Die Leistung in $R_1$ steigt (mehr Strom = mehr Verlustleistung)

Wichtig: Bei belastetem Spannungsteiler sinkt die Ausgangsspannung! Der Strom durch $R_1$ steigt, weil jetzt zusätzlich Strom durch $R_L$ fließt.

Zusammenfassung für die Prüfung

Frage	Thema	Richtige Antwort
AD101	C in Reihe	13,0 pF (Kehrwert-Formel)
AD102	L in Reihe	185,2 μH (Addition)
AD103	C parallel	1821 pF (Addition)
AD104	\|Z\| mit R-C	188 Ω (Pythagoras)
AD105	\|Z\| mit R-L	636 Ω (Pythagoras)
AD106	U bei Reihenschaltung	30 V
AD107	I bei Reihenschaltung	0,5 mA
AD108	Leistung P	2,5 mW
AD109	Variabler R	267 bis 292 Ω
AD110	Gemischte Schaltung	1210 Ω
AD111	Brücken-Abgleich	$R_1/R_2 = R_3/R_4$
AD112	Symmetrische Brücke	0 V
AD113	Unsymmetrische Brücke	9 V
AD114	Belasteter Teiler	1,8 V
AD115	Wirkung der Last	$I_1$ steigt, $R_1$ mehr Leistung

Wissenskontrolle

0 / 15 Fragen richtig

AD101

Wie groß ist die Gesamtkapazität, wenn drei Kondensatoren $C_1$ = 0,10 nF, $C_2$ = 47 pF und $C_3$ = 22 pF in Reihe geschaltet werden?

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AD102

Wie groß ist die Gesamtinduktivität von drei in Reihe geschalteten Spulen von 2200 nH, 0,033 mH und 150 μH?

AD103

Wie groß ist die Gesamtkapazität dieser Schaltung, wenn $C_1$ = 0,1 nF, $C_2$ = 1,5 nF, $C_3$ = 220 pF und die Eigenkapazität der Spule 1 pF beträgt?

🔍

AD104

Berechne den Betrag des Scheinwiderstands $Z$ für eine Reihenschaltung aus $R$ = 100 Ohm und $C$ = 1 nF bei 1 MHz.

AD105

Berechne den Betrag des Scheinwiderstands $Z$ für eine Reihenschaltung aus $R$ = 100 Ohm und $L$ = 100 μH bei 1 MHz.

AD106

Wie groß ist die Spannung $U$, wenn durch $R_3$ ein Strom von 1 mA fließt und alle Widerstände $R_1$ bis $R_3$ je 10 kOhm betragen?

🔍

AD107

Wie groß ist der Strom durch $R_3$, wenn $U$ = 15 V und alle Widerstände $R_1$ bis $R_3$ je 10 kOhm betragen?

🔍

AD108

Welche Leistung tritt in $R_2$ auf, wenn $U$ = 15 V und alle Widerstände $R_1$ bis $R_3$ je 10 kOhm betragen?

🔍

AD109

In welchem Bereich liegt der Eingangswiderstand der folgenden Schaltung, wenn $R$ alle Werte von 0 Ohm bis 1 kOhm annehmen kann?

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AD110

Wenn $\textrm{R}_1$ und $\textrm{R}_3$ je 2,2 kOhm haben und $\textrm{R}_2$ und $\textrm{R}_4$ je 220 Ohm betragen, hat die Schaltung zwischen den Punkten a und b einen Gesamtwiderstand von ...

🔍

AD111

In welchem Verhältnis müssen die Widerstände $R_1$ bis $R_4$ zueinander stehen, damit das Messinstrument im Brückenzweig keine Spannung anzeigt?

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AD112

Die Spannung an der Brückenschaltung beträgt 10 V. Alle Widerstände haben einen Wert von 50 Ohm. Wie groß ist die Spannung zwischen A und B im Brückenzweig (gemessen von A nach B)?

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AD113

Die Spannung an der Brückenschaltung beträgt 11 V. Die Widerstände haben folgende Werte: $R_1$ = 1 kOhm; $R_2$ = 10 kOhm; $R_3$ = 10 kOhm; $R_4$ = 1 kOhm. Wie groß ist die Spannung zwischen A und B im Brückenzweig (gemessen von A nach B)?

🔍

AD114

Wie groß ist die Spannung $U_2$ in der Schaltung mit folgenden Werten: $U_{\textrm{B}} = 12 V$, $R_1 = 10 k\Omega$, $R_2 = 2,2 k\Omega$, $R_{\textrm{L}} = 8,2 k\Omega$

🔍

AD115

Wenn der dargestellte Spannungsteiler mit $R_{\textrm{L}}$ belastet wird, dann ergibt sich folgender Zusammenhang:

🔍

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